先週末、友達と「天保が出るには何局やる必要があるのか」、という話題になりました。天保はおよそ1/330000なので、(329999/330000)^330000=0.367879..
です。
33万局やっても36%位で巡り合えないことになります。
次に簡単にして、1/1000を1000回やっても１回も当たらない確率を求めてみました。
(999/1000)^1000 = 0.366032…
違う数字になると思ったらかなり似通っているが不思議でした。
1/10000でやっても
(9999/10000)^10000 = 0.367695..
どうも全て0.367の辺りに収束していることに気づきました。
すなわち
lim (1-1/X)^X = 0.367..
x->∞
となっているようです。
ぼんやり0.367って何だろうかと寝ながら考えていたら、突然
e=2.718.. だから 1/e だ！
と気づきました。
lim (1-1/X)^X = 1/e = 0.367879..
x->∞
こういう式が自分で思いついたのは初めてだったので、その夜は何となく興奮。次の日にXを大きな数で試してみると、やはり
2X 回やると、1/(e^2)=0.135
3X 回やると、1/(e^3)=0.0498
4X 回やると、1/(e^4)=0.0183
に収束していくことを確認。
ここでまず気づいたのが、
4X回やってようやく99％の確率で一回以上当たる。
ということです。宝くじの一等を当てるのはやっぱり厳しそうですね。
さて月曜日になって、同僚で金融に強い先輩Ｔにこの発見を説明。
すると、ものの10分程度で
http://en.wikipedia.org/wiki/E_%28mathematical_constant%29
の中のBernoulli trialsでこの発見が既にあったことと、そして、eの性質から上記の数式が導かれることを証明されてしましました。日本語のWikiには e に関する記述が殆ど無かったので気づかなかったです。
最初の発見でも何でもなかったのは残念ですが、自分で気づけたのは結構嬉しいです。後日また今回の発見を使って、色々な現実のギャンブルを考察してみようと思います。
それにしてもこんなギャンブルの確率計算でも現れてくる e はすごいなぁ、と改めて思いました。
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